17/04/2012
Theoretical Physics Chiral perturbation theory, Physics, Quantum Field Theory Leave a comment
最近はLyXを使わずに、ほとんどiPadのNoteshelfやGoodNotesを活用しているところですから、なかなかTeXが面倒くさくなってきました。
今日はfinite-temperature QCDの1993年までの歴史と、Chiral symmetryに関して調べてみました。
Chiral symmetryの復習は、あれですよ。staggered fermionをこれから使うもんなんでね。
明日はG&Lのstaggered fermionのとこをまた読んでみようと思います。chiral symmetryのSSBのメカニズムも、セミナーでちゃんと説明できるようにまとめときます。
それから、明日やりたいのは、renormalization group methodの復習です。せっかくなので牟田さんの本を使おうと思います。
16/04/2012
Pure Mathematics Leave a comment
次のような積分の計算に関して考える。ここで
複素解析を導入して考える。ただの実軸上の積分を、複素平面へと
ここで、
である。さて、
この積分が意味を持ち得るための条件は、
である。そうすれば
で
つまり、緑色の円弧のような回転方向を意味するのである。
原点からオレンジ色の経路(
この積分経路は実軸と比べると
これよりintegrandに
である。
16/04/2012
Theoretical Physics Leave a comment
宇川先生の講義録の最初あたりは、staggered fermionが結構出没してます。
ってことで、Chiral symmetryを。
マインツ大学の方で、Stefan Schererさんが2学期にわたって授業をやったスライドをもらいました。
14/04/2012
Theoretical Physics Leave a comment
現在、筑波大学の宇川彰副学長の講義録を読んでいます。
これは1993年6月21日から7月2日まで、アメリカのワシントン大学のキャンパスで開催されたUehling夏の学校で、「Lattice QCD at Finite Temperature」という名で行われた講義です。採録はStanley Myintさんにやっていただきました。
12/01/2012
Theoretical Physics ATLAS, ATLAS experiment, Compact Muon Solenoid, Large Hadron Collider, Large Ion Collider Experiment, LHC, LHCb, Proton Leave a comment
At the LHC, protons in the beam 1 have the four momentum
and protons in the beam 2 have the four momentum
They collide at the collison point at the center of the detectors (ATLAS, CMS, LHCb, ALICE). Since the velocity is very very near to the light velocity 
![0.94\left[\mathrm{GeV/c^{2}}\right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=0.94%5Cleft%5B%5Cmathrm%7BGeV%2Fc%5E%7B2%7D%7D%5Cright%5D+&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "0.94\left[\mathrm{GeV/c^{2}}\right]")
With this approximation,E holds. In the collision center-of-mass frame, the vectorial sum of the three-momenta of the colliding particles is zero
At the LHC, protons of both beams have the same and opposite momentum in the laboratory frame. It may be called asymmetric collider. (A good example of asymmetric collider is KEKB or PEP2 B-factory colliders).
The four momentum (energy and three-momentum) of the colliding two-proton system is
in the laboratory frame, and we call the total energy 2E as the collision energy.
It is often expressed as
by using the Lorentz invariant
Let parton 
the squared collision energy of the colliding 
the rapidity of the
the measure
where
17/10/2011
http://raicho.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1318831731/
ここに、こう書いた。
905 自分：韓国人[sage] 投稿日：2011/10/17(月) 17:05:32.37 ID:2EbB0tQU0 [1/6]
俺、ガチで韓国人だ。学部から留学６年目の筑波大学の院生だぜ。
SAMSUNGのこの件、ホントに申し訳ないと思ってる。
なにこれ、ガチでブチ殺したいんだけど。
俺、auで機種変更して4S買うつもりだったんだけどSAMSUNGのクソ野郎が邪魔してるんだけど、マジでぶち殺したくてどうしようもないんだけど。
その前に、みんなにガチで謝りたい。
本当に申し訳ない。SAMSUNGのクソ野郎ぶち殺したい。
ｍ（ ＿ ＿）ｍ
としたら、暖かいコメントのラリー。
920 返信：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2011/10/17(月) 17:08:47.54 ID:BSJAV6VeO
>>905
そんなんだから韓国人は嫌われちまうんだぜwとコピペにまじれす
927 返信：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2011/10/17(月) 17:09:39.24 ID:tQ/CeYtk0 [5/7]
>>905
そりゃあ韓国人にも
林檎信者はいるはずだよね。
いいものはいいもの。
930 自分：韓国人[sage] 投稿日：2011/10/17(月) 17:10:04.57 ID:2EbB0tQU0 [2/6]
>>920
いや。コピペじゃないよ。
945 自分：韓国人[sage] 投稿日：2011/10/17(月) 17:12:53.63 ID:2EbB0tQU0 [3/6]
>>927
まさかお前SAMSUNGのみかたみたいな立場じゃないよな？
947 返信：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2011/10/17(月) 17:13:17.26 ID:od/jAYs/0 [2/3]
>>905
２ちゃんやってて嫌になることないか？
ここで書かれてることあまりマトモに受け取るなよ
自分は韓国嫌いじゃないし
世間の人はそれほど韓国バッシングしてないと思うよ
４S買えるといいな。
960 自分：韓国人[sage] 投稿日：2011/10/17(月) 17:15:45.15 ID:2EbB0tQU0 [4/6]
>>947
なんか優しい奴だな。
うん。ここだから言ってるんじゃなく、本当、SAMSUNGは韓国でも結構嫌われてるよ。
社会還元とかにケチなイメージもあるし、不正腐敗ひどいしね。
そんなイメージのクソ野郎がまさか日本でiPhoneの邪魔しとるなんて、マジでキレてるよ今。
965 返信：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2011/10/17(月) 17:16:42.15 ID:tQ/CeYtk0 [7/7]
>>945
アップル好きだよ。
昔から、韓国の掲示板でも
数は少ないながらアップル信者はいた。
969 自分：韓国人[sage] 投稿日：2011/10/17(月) 17:17:55.99 ID:2EbB0tQU0 [5/6]
>>934
や、ガチだけど、そろそろ起きるっぽい空気だよ。
975 返信：名無しさん＠１２周年[sage] 投稿日：2011/10/17(月) 17:19:38.80 ID:a+qqqeHH0 [4/4]
>>960
日本の東電、韓国のSAMSUNGって感じだろ？
どっちも半公的企業なのに自国社会に害悪撒き散らすから困るよなぁ・・・
977 返信：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2011/10/17(月) 17:19:49.92 ID:t4xC8KnC0
>>960
韓国人なら２ちゃん来ない方がいいぞｗ
ストレス溜まるだけだｗ
981 返信：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2011/10/17(月) 17:19:59.07 ID:CgLXXpjTO
>>905ｷﾆｽﾝﾅｰおまいはいい奴だなｗ
987 返信：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2011/10/17(月) 17:22:17.80 ID:4rfrJ1L6O
>>905
俺は韓国人嫌いやけど日本で学業と研究に励んでるおまえは悪くないし嫌いじゃないよ
できれば日本のためにがんばって日本で成功した韓国人になってほしいよ
日本の技術を韓国に持ち帰っても企業に権利を盗まれてあなたはポイ捨てされるだけさ
あと日本人の女性をレイプしないように頼みます
その気はなくても魔がさすってことあるだろうからね
せっかく筑波大でがんばってるんだから人生台無しにしないようにいろいろがんばれよ
ムラムラしたら風俗いくか動画サイト見てオナニーしろ
日本はエロ大国だからレイプしなくてもエロは転がってるぞ ハァハァ ハァハァ
994 自分：韓国人[sage] 投稿日：2011/10/17(月) 17:23:11.44 ID:2EbB0tQU0 [6/6]
>>975 >>977 >>981
いや。お前らみたいな優しいやつもいるってこと知ってるから、通わせてもらってるぜ。
2chでこんなに暖かくされるってこともっと早く知ってたら
読むだけじゃなく、いろいろ書いてたわ…。
みんなありがとう。
998 返信：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2011/10/17(月) 17:24:28.30 ID:od/jAYs/0 [3/3]
>>994
また会えるよ良いね！
やっぱり、無条件的な反韓とか反日はないんだな、っていうのを今更思いました。
ほら、お互い向き合えば、こういう風にできるんだ。
まさか、2chやってて受けそうなストレスまで心配してくれてるし。
普通の大学生の中で、「2chの連中って終わってる」って評判多いんだけど、終わってるって言われてる人たちもこんだけの優しさはあるんだよ、って。
ちょっと、感動しちゃいました。こいつら、本当はいいやつだなーって。こういうやつらがいるんで、これからも2ch通わせてもらいます。
06/09/2011
後から知ったんですけど、AKB48が出演したと…。
早速KBSの関連動画を探してみたんです。
で、遠征メンバーたちの名簿を探して見たところです。
16 北原里英
19 指原莉乃
21 宮崎美穂
以上がメディア選抜ならずの選抜メンバー。
22 多田愛佳
23 倉持明日香
25 増田有華
27 石田晴香
29 仁藤萌乃
31 佐藤すみれ
33 藤江れいな
34 米沢瑠美
以上がアンダーガールズ
そして以下は総選挙で40位に入れなかったメンバーたち。
A 仲谷明香
A 岩佐美咲
K 菊地あやか
K 松井咲子
B 佐藤夏希
メディア選抜圏は全員欠席していますね。もちろん、これは２０１０年8月18日に発表された17thシングル総選挙「母さんに誓って、ガチです」の結果。
あの中のエースはきたりえ。正直好きなメンバーの一人なのでうれしかったです。それに韓国語もお上手だったし。
ポニーテールとシュシュ、会いたかった、ヘビーローテーションの3曲を疲労したと。そんなかKBSで放送されたのはポ二シュシュ1曲と、きたりえの韓国語コメントのみ。
佐藤夏希とモッチも韓国語MCをやってたそうですが、モッチは忘れちゃったみたい。
会いたかったとポ二シュシュは仁藤がセンターで、ヘビロテは指原がセンターだったと。
こんなかで実際シングルメイン曲に参加してるのはきたりえ、指原、宮崎美穂くらいで、他はシングルには参加しているものの、アンダーガールズなわけですし・・・。
それに、5人は劇場でしか会えない子たちだし…。
まぁ・・・。総選挙結果だけで言うと、こりゃあリザーブ・クラスですね。
でも、若芽たちが大舞台を経験してみたわけだし、これはかなりの経験となるでしょう・・・。
絶対これで韓国のKARAとかと比べられただろうに、もっと上位クラスの子たちも来てほしかった。まぁスケジュール大変つまってたろうけど・・・。
ゆきりんとか、河西とかでもいれば良かった・・・。とはいえ、もっとメインメンバーがいてくれないとどうしようもなかったしねぇ。
12/08/2011
Theoretical Physics Gordon Identity, Quantum Field Theory Leave a comment
12/08/2011
Pure Mathematics Feynman Parameter, Quantum Field Theory, Richard Feynman Leave a comment
Image via Wikipedia
韓国の高校数学では次の公式を使って解くことになっている問題がしばしば出てくる。
発想の転換。これが、第3の(積分)変数によって積分されたとすると？
それから、もう少し頭を使って、次のように変数変換してみる。
すると、
となる。Feynman parameterを使って、分母を一つの括弧の中にまとめた。こういう技法は散乱振幅の計算をかなり易しくしてくれる。
これの応用、その1つ目。
数学的帰納法で証明できる。
2つ目の応用
数学的帰納法で証明できる。証明の最大のポイントはこの式。
3番目の応用
これも数学帰納法で、最大のポイントは次の式。
12/08/2011
Theoretical Physics Path Integral, Stationary phase approximation Leave a comment
1. 粒子がある点
その経路の間に2重スリットを置いてみよう。
superposition principleにより、この場合の遷移振幅は、
のようである。もし
となり、constructive interferenceが起こる。けれど
となり、destructive interferenceが起こる。これより、二重以上のスリットがある場合の一般的な場合は、
と書けるだろう。ここで、位置$x$ が数列であれば、それぞれの
さて、
あれからstationary phase approximationを計算できるかも知れない。でも、古典経路は解析力学の最小作用定理を満たすものだった。
それで、このaction 
ここで、古典極限として
となるが、これはまさに古典力学のHamilton-Jacobi方程式である。ゆえに古典極限がうまく回っている。ゆえに遷移振幅は、最終的に
のようにかける。
![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)+2m\gamma^{\mu}\right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29-%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29%2B2m%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)+2m\gamma^{\mu}\right]u\left(p\right)")
![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left(2p^{\prime\mu}+2p^{\mu}-4m\gamma^{\mu}\right)\right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%282p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2B2p%5E%7B%5Cmu%7D-4m%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left(2p^{\prime\mu}+2p^{\mu}-4m\gamma^{\mu}\right)\right]u\left(p\right)")
![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left(2p^{\prime\mu}+2p^{\mu}-p^{\prime}\!\!\!/\gamma^{\mu}-\gamma^{\mu}p\!\!\!/-2m\gamma^{\mu}\right)\right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%282p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2B2p%5E%7B%5Cmu%7D-p%5E%7B%5Cprime%7D%5C%21%5C%21%5C%21%2F%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D-%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7Dp%5C%21%5C%21%5C%21%2F-2m%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left(2p^{\prime\mu}+2p^{\mu}-p^{\prime}\!\!\!/\gamma^{\mu}-\gamma^{\mu}p\!\!\!/-2m\gamma^{\mu}\right)\right]u\left(p\right)")
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![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left\{ \gamma^{\mu}\left(p^{\prime}\!\!\!/-m\right)+\left(p\!\!\!/-m\right)\gamma^{\mu}\right\} \right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5C%7B+%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5C%21%5C%21%5C%21%2F-m%5Cright%29%2B%5Cleft%28p%5C%21%5C%21%5C%21%2F-m%5Cright%29%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%5C%7D+%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left\{ \gamma^{\mu}\left(p^{\prime}\!\!\!/-m\right)+\left(p\!\!\!/-m\right)\gamma^{\mu}\right\} \right]u\left(p\right)")
![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left\{ \gamma^{\mu}\left(p^{\prime}\!\!\!/-p\!\!\!/\right)-\left(p^{\prime}\!\!\!/-p\!\!\!/\right)\gamma^{\mu}\right\} \right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5C%7B+%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5C%21%5C%21%5C%21%2F-p%5C%21%5C%21%5C%21%2F%5Cright%29-%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5C%21%5C%21%5C%21%2F-p%5C%21%5C%21%5C%21%2F%5Cright%29%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%5C%7D+%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left\{ \gamma^{\mu}\left(p^{\prime}\!\!\!/-p\!\!\!/\right)-\left(p^{\prime}\!\!\!/-p\!\!\!/\right)\gamma^{\mu}\right\} \right]u\left(p\right)")
![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}-\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}\right)\left(p_{\nu}^{\prime}-p_{\nu}\right)\right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cgamma%5E%7B%5Cnu%7D-%5Cgamma%5E%7B%5Cnu%7D%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29%5Cleft%28p_%7B%5Cnu%7D%5E%7B%5Cprime%7D-p_%7B%5Cnu%7D%5Cright%29%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}-\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}\right)\left(p_{\nu}^{\prime}-p_{\nu}\right)\right]u\left(p\right)")
![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]\left(p_{\nu}^{\prime}-p_{\nu}\right)\right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5B%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%2C%5Cgamma%5E%7B%5Cnu%7D%5Cright%5D%5Cleft%28p_%7B%5Cnu%7D%5E%7B%5Cprime%7D-p_%7B%5Cnu%7D%5Cright%29%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]\left(p_{\nu}^{\prime}-p_{\nu}\right)\right]u\left(p\right)")
![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]q_{\nu}\right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5B%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%2C%5Cgamma%5E%7B%5Cnu%7D%5Cright%5Dq_%7B%5Cnu%7D%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)-\frac{1}{2}\left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]q_{\nu}\right]u\left(p\right)")
![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)+i\sigma^{\mu\nu}q_{\nu}\right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%5Cright%29%2Bi%5Csigma%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7Dq_%7B%5Cnu%7D%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\frac{1}{2m}\left[\left(p^{\prime\mu}+p^{\mu}\right)+i\sigma^{\mu\nu}q_{\nu}\right]u\left(p\right)")
![=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\left[\frac{p^{\prime\mu}+p^{\mu}}{2m}+\frac{i\sigma^{\mu\nu}q_{\nu}}{2m}\right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bp%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%7D%7B2m%7D%2B%5Cfrac%7Bi%5Csigma%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7Dq_%7B%5Cnu%7D%7D%7B2m%7D%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\left[\frac{p^{\prime\mu}+p^{\mu}}{2m}+\frac{i\sigma^{\mu\nu}q_{\nu}}{2m}\right]u\left(p\right)")
![\therefore \ \ \ \bar{u}\left(p^{\prime}\right)\gamma^{\mu}u\left(p\right) =\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\left[\frac{p^{\prime\mu}+p^{\mu}}{2m}+\frac{i\sigma^{\mu\nu}q_{\nu}}{2m}\right]u\left(p\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ctherefore+%5C+%5C+%5C+%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7Du%5Cleft%28p%5Cright%29+%3D%5Cbar%7Bu%7D%5Cleft%28p%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%29%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bp%5E%7B%5Cprime%5Cmu%7D%2Bp%5E%7B%5Cmu%7D%7D%7B2m%7D%2B%5Cfrac%7Bi%5Csigma%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7Dq_%7B%5Cnu%7D%7D%7B2m%7D%5Cright%5Du%5Cleft%28p%5Cright%29&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\therefore \ \ \ \bar{u}\left(p^{\prime}\right)\gamma^{\mu}u\left(p\right) =\bar{u}\left(p^{\prime}\right)\left[\frac{p^{\prime\mu}+p^{\mu}}{2m}+\frac{i\sigma^{\mu\nu}q_{\nu}}{2m}\right]u\left(p\right)")
![\frac{1}{AB} =\frac{1}{B-A}\left[\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BAB%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BB-A%7D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7BA%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7BB%7D%5Cright%5D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\frac{1}{AB} =\frac{1}{B-A}\left[\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right]")
![\frac{1}{AB} =\frac{1}{A-B}\left[-\frac{1}{y}\right]_{B}^{A}=\frac{1}{A-B}\overset{A}{\underset{B}{\int}}dy\frac{1}{y^{2}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BAB%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BA-B%7D%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D%5Cright%5D_%7BB%7D%5E%7BA%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BA-B%7D%5Coverset%7BA%7D%7B%5Cunderset%7BB%7D%7B%5Cint%7D%7Ddy%5Cfrac%7B1%7D%7By%5E%7B2%7D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\frac{1}{AB} =\frac{1}{A-B}\left[-\frac{1}{y}\right]_{B}^{A}=\frac{1}{A-B}\overset{A}{\underset{B}{\int}}dy\frac{1}{y^{2}}")
![\frac{1}{AB} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx\frac{1}{\left[\left(A-B\right)x+B\right]^{2}}=\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx\frac{1}{\left[xA+\left(1-x\right)B\right]^{2}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BAB%7D+%3D%5Coverset%7B1%7D%7B%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cint%7D%7Ddx%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%5B%5Cleft%28A-B%5Cright%29x%2BB%5Cright%5D%5E%7B2%7D%7D%3D%5Coverset%7B1%7D%7B%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cint%7D%7Ddx%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%5BxA%2B%5Cleft%281-x%5Cright%29B%5Cright%5D%5E%7B2%7D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\frac{1}{AB} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx\frac{1}{\left[\left(A-B\right)x+B\right]^{2}}=\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx\frac{1}{\left[xA+\left(1-x\right)B\right]^{2}}")
![\frac{1}{AB} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dxdy\delta\left(x+y-1\right)\frac{1}{\left[xA+yB\right]^{2}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BAB%7D+%3D%5Coverset%7B1%7D%7B%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cint%7D%7Ddxdy%5Cdelta%5Cleft%28x%2By-1%5Cright%29%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%5BxA%2ByB%5Cright%5D%5E%7B2%7D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\frac{1}{AB} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dxdy\delta\left(x+y-1\right)\frac{1}{\left[xA+yB\right]^{2}}")
![\frac{1}{AB^{n}} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dxdy\delta\left(x+y-1\right)\frac{ny^{n-1}}{\left[xA+yB\right]^{n+1}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BAB%5E%7Bn%7D%7D+%3D%5Coverset%7B1%7D%7B%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cint%7D%7Ddxdy%5Cdelta%5Cleft%28x%2By-1%5Cright%29%5Cfrac%7Bny%5E%7Bn-1%7D%7D%7B%5Cleft%5BxA%2ByB%5Cright%5D%5E%7Bn%2B1%7D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\frac{1}{AB^{n}} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dxdy\delta\left(x+y-1\right)\frac{ny^{n-1}}{\left[xA+yB\right]^{n+1}}")
![\frac{1}{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx_{1}\cdots dx_{n}\delta\left(\sum x_{i}-1\right)\frac{\left(n-1\right)!}{\left[x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\cdots+x_{n}A_{n}\right]^{n}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BA_%7B1%7DA_%7B2%7D%5Ccdots+A_%7Bn%7D%7D+%3D%5Coverset%7B1%7D%7B%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cint%7D%7Ddx_%7B1%7D%5Ccdots+dx_%7Bn%7D%5Cdelta%5Cleft%28%5Csum+x_%7Bi%7D-1%5Cright%29%5Cfrac%7B%5Cleft%28n-1%5Cright%29%21%7D%7B%5Cleft%5Bx_%7B1%7DA_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7DA_%7B2%7D%2B%5Ccdots%2Bx_%7Bn%7DA_%7Bn%7D%5Cright%5D%5E%7Bn%7D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\frac{1}{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx_{1}\cdots dx_{n}\delta\left(\sum x_{i}-1\right)\frac{\left(n-1\right)!}{\left[x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\cdots+x_{n}A_{n}\right]^{n}}")
![\frac{1}{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}A_{k+1}} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx_{1}\cdots dx_{k}\delta\left(\sum x_{i}-1\right)\frac{\left(k-1\right)!}{\left[x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\cdots+x_{k}A_{k}\right]^{k}A_{k+1}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BA_%7B1%7DA_%7B2%7D%5Ccdots+A_%7Bk%7DA_%7Bk%2B1%7D%7D+%3D%5Coverset%7B1%7D%7B%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cint%7D%7Ddx_%7B1%7D%5Ccdots+dx_%7Bk%7D%5Cdelta%5Cleft%28%5Csum+x_%7Bi%7D-1%5Cright%29%5Cfrac%7B%5Cleft%28k-1%5Cright%29%21%7D%7B%5Cleft%5Bx_%7B1%7DA_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7DA_%7B2%7D%2B%5Ccdots%2Bx_%7Bk%7DA_%7Bk%7D%5Cright%5D%5E%7Bk%7DA_%7Bk%2B1%7D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\frac{1}{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}A_{k+1}} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx_{1}\cdots dx_{k}\delta\left(\sum x_{i}-1\right)\frac{\left(k-1\right)!}{\left[x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\cdots+x_{k}A_{k}\right]^{k}A_{k+1}}")
![\frac{1}{A_{1}^{m_{1}}A_{2}^{m_{2}}\cdots A_{n}^{m_{n}}} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx_{1}\cdots dx_{n}\delta\left(\sum x_{i}-1\right)\frac{\prod x_{i}^{m_{i}-1}}{\left[\sum x_{i}A_{i}\right]^{\sum m_{i}}}\frac{\Gamma\left(m_{1}+\cdots+m_{n}\right)}{\Gamma\left(m_{1}\right)\cdots\Gamma\left(m_{n}\right)}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BA_%7B1%7D%5E%7Bm_%7B1%7D%7DA_%7B2%7D%5E%7Bm_%7B2%7D%7D%5Ccdots+A_%7Bn%7D%5E%7Bm_%7Bn%7D%7D%7D+%3D%5Coverset%7B1%7D%7B%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cint%7D%7Ddx_%7B1%7D%5Ccdots+dx_%7Bn%7D%5Cdelta%5Cleft%28%5Csum+x_%7Bi%7D-1%5Cright%29%5Cfrac%7B%5Cprod+x_%7Bi%7D%5E%7Bm_%7Bi%7D-1%7D%7D%7B%5Cleft%5B%5Csum+x_%7Bi%7DA_%7Bi%7D%5Cright%5D%5E%7B%5Csum+m_%7Bi%7D%7D%7D%5Cfrac%7B%5CGamma%5Cleft%28m_%7B1%7D%2B%5Ccdots%2Bm_%7Bn%7D%5Cright%29%7D%7B%5CGamma%5Cleft%28m_%7B1%7D%5Cright%29%5Ccdots%5CGamma%5Cleft%28m_%7Bn%7D%5Cright%29%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\frac{1}{A_{1}^{m_{1}}A_{2}^{m_{2}}\cdots A_{n}^{m_{n}}} =\overset{1}{\underset{0}{\int}}dx_{1}\cdots dx_{n}\delta\left(\sum x_{i}-1\right)\frac{\prod x_{i}^{m_{i}-1}}{\left[\sum x_{i}A_{i}\right]^{\sum m_{i}}}\frac{\Gamma\left(m_{1}+\cdots+m_{n}\right)}{\Gamma\left(m_{1}\right)\cdots\Gamma\left(m_{n}\right)}")
![\left.\frac{\delta}{\delta x\left(t\right)}\biggl(\mathrm{phase}\left[x\left(t\right)\right]\biggr)\right|_{x=x_{\mathrm{cl}}}=0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft.%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B%5Cdelta+x%5Cleft%28t%5Cright%29%7D%5Cbiggl%28%5Cmathrm%7Bphase%7D%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%5Cbiggr%29%5Cright%7C_%7Bx%3Dx_%7B%5Cmathrm%7Bcl%7D%7D%7D%3D0&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\left.\frac{\delta}{\delta x\left(t\right)}\biggl(\mathrm{phase}\left[x\left(t\right)\right]\biggr)\right|_{x=x_{\mathrm{cl}}}=0")
![\left.\frac{\delta}{\delta x\left(t\right)}\biggl(S\left[x\left(t\right)\right]\biggr)\right|_{x=x_{\mathrm{cl}}} =\left.\frac{\delta}{\delta x\left(t\right)}\left(\int L\left(x\left(t\right),\dot{x}\left(t\right);t\right)dt\right)\right|_{x=x_{\mathrm{cl}}}=0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft.%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B%5Cdelta+x%5Cleft%28t%5Cright%29%7D%5Cbiggl%28S%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%5Cbiggr%29%5Cright%7C_%7Bx%3Dx_%7B%5Cmathrm%7Bcl%7D%7D%7D+%3D%5Cleft.%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B%5Cdelta+x%5Cleft%28t%5Cright%29%7D%5Cleft%28%5Cint+L%5Cleft%28x%5Cleft%28t%5Cright%29%2C%5Cdot%7Bx%7D%5Cleft%28t%5Cright%29%3Bt%5Cright%29dt%5Cright%29%5Cright%7C_%7Bx%3Dx_%7B%5Cmathrm%7Bcl%7D%7D%7D%3D0&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\left.\frac{\delta}{\delta x\left(t\right)}\biggl(S\left[x\left(t\right)\right]\biggr)\right|_{x=x_{\mathrm{cl}}} =\left.\frac{\delta}{\delta x\left(t\right)}\left(\int L\left(x\left(t\right),\dot{x}\left(t\right);t\right)dt\right)\right|_{x=x_{\mathrm{cl}}}=0")
![i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]} =\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right)\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=i%5Chbar%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7De%5E%7B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D+%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E%7B2%7D%7D%7B2m%7D%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7D%7D%7Bdx%5E%7B2%7D%7D%2BV%5Cleft%28x%5Cright%29%5Cright%29e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]} =\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right)\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}")
![-\frac{\partial S}{\partial t}\cdot e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]} =\left\{ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d}{dx}\left(\frac{i}{\hbar}\cdot\frac{dS}{dx}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}\right)\right\} +V\left(x\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=-%5Cfrac%7B%5Cpartial+S%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Ccdot+e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D+%3D%5Cleft%5C%7B+-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E%7B2%7D%7D%7B2m%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BdS%7D%7Bdx%7D%5Ccdot+e%5E%7BS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D%5Cright%29%5Cright%5C%7D+%2BV%5Cleft%28x%5Cright%29e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "-\frac{\partial S}{\partial t}\cdot e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]} =\left\{ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d}{dx}\left(\frac{i}{\hbar}\cdot\frac{dS}{dx}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}\right)\right\} +V\left(x\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}")
![=\left\{ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\cdot\left(\frac{dS}{dx}\right)^{2}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}+\frac{i}{\hbar}\cdot\frac{d^{2}S}{dx^{2}}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}\right)\right\} +V\left(x\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cleft%5C%7B+-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E%7B2%7D%7D%7B2m%7D%5Cleft%28%5Cleft%28%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%5Ccdot%5Cleft%28%5Cfrac%7BdS%7D%7Bdx%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%5Ccdot+e%5E%7BS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D%2B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7DS%7D%7Bdx%5E%7B2%7D%7D%5Ccdot+e%5E%7BS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D%5Cright%29%5Cright%5C%7D+%2BV%5Cleft%28x%5Cright%29e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\left\{ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\cdot\left(\frac{dS}{dx}\right)^{2}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}+\frac{i}{\hbar}\cdot\frac{d^{2}S}{dx^{2}}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}\right)\right\} +V\left(x\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}")
![=\frac{1}{2m}\left(\frac{dS}{dx}\right)^{2}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}-\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^{2}S}{dx^{2}}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}+V\left(x\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7BdS%7D%7Bdx%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%5Ccdot+e%5E%7BS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D-%5Cfrac%7Bi%5Chbar%7D%7B2m%7D%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7DS%7D%7Bdx%5E%7B2%7D%7D%5Ccdot+e%5E%7BS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D%2BV%5Cleft%28x%5Cright%29e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "=\frac{1}{2m}\left(\frac{dS}{dx}\right)^{2}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}-\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^{2}S}{dx^{2}}\cdot e^{S\left[x\left(t\right)\right]}+V\left(x\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}")
![\left\langle x_{b}\right|e^{-\frac{i}{\hbar}HT}\left|x_{a}\right\rangle = U\left(x_{a},x_{b};T\right) =\int\mathcal{D}x\left(t\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5Clangle+x_%7Bb%7D%5Cright%7Ce%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DHT%7D%5Cleft%7Cx_%7Ba%7D%5Cright%5Crangle+%3D+U%5Cleft%28x_%7Ba%7D%2Cx_%7Bb%7D%3BT%5Cright%29+%3D%5Cint%5Cmathcal%7BD%7Dx%5Cleft%28t%5Cright%29e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Cleft%5Bx%5Cleft%28t%5Cright%29%5Cright%5D%7D&bg=fafad3&fg=6f5e4e&s=0 "\left\langle x_{b}\right|e^{-\frac{i}{\hbar}HT}\left|x_{a}\right\rangle = U\left(x_{a},x_{b};T\right) =\int\mathcal{D}x\left(t\right)e^{\frac{i}{\hbar}S\left[x\left(t\right)\right]}")
