マックスウェル方程式の場合のように、Tensor notationで様々なLorentz変換を見つけることができる。

けれどこのnotation以外にもLorentz transformationは山ほどあるという。

そのすべてのLorentz transformationを一括して眺めたい。としたらすべてのLorentz変換たちが共有している性質を見つけるのが必要である。

任意のn-component multipletのLorentz transformationを考えてみよう。議論の簡単さのために線形変換に限って考える。としても、どんな複雑な変形の仕方だって、そのinfinitesimal transformationは必ず線形だから、大げさに言うまでもない。Lorentz transformationとともにfield argumentも変換するが、こいつは無視して眺めると、

\Phi \rightarrow M\left(\Lambda\right)\Phi

のような変換をするだろう。ここでM\left(\Lambda\right)はn \times nmatrixである。ここに更なるM\left(\Lambda^\prime\right)を作用させても、それもLorentz transformationであろう。つまりM\left(\Lambda\right) M\left(\Lambda^\prime\right)もLorentz変換である。ここで数学の群が浮かぶ。つまり、こういうLorentz transformationたちは群をなしているのである。としたら、群論の言葉で、M\left(\Lambda\right)は表現行列である。

さて、Lorentz群の有限次元行列をどうやって表せるか。

Lorentz transformationは「4次元時空での回転」である。なので、量子力学でも容易に記述できる3次元回転群から考えてみよう。

これはスピン量子数sごとに、そのdimensionalityをn=2s+1とし、その表現行列をn \times nとして持つやつである。たとえばスピン1の表現は3 \times 3行列である。

 

どんな連続群も、ほとんど恒等変換に近いくらいのinfinitesimalな変換は、あるベクトル空間を作る。それはその群のLie algebraという。そのベクトル空間の基底ベクトルはLie algebraの生成子という。

 

3次元回転群の場合、その演算子は角運動量演算子であり、有名なcommutation relationを満たす。有限な回転演算はgeneratorを指数関数の肩の上に置いたような形になる。演算子の掛け算の規則はgeneratorたちの交換関係によって定まる。

ここでのように、その群のgeneratorを求めて、そいつを指数関数の肩の上に置けば、continuous groupの行列表現を表すことができる。

 

今はローレンツ群の生成子の交換関係を求めなければいけない。スピン角運動量だけではなく、軌道角運動量も交換関係は満たす。

J^{ij}=-i\left(x^{i}\nabla^{j}-x^{j}\nabla^{i}\right)

これを4次元に拡張するとしたら、考えるまででもなくこれだろう。

J^{\mu\nu} =i\left(x^{\mu}\partial^{\nu}-x^{\nu}\partial^{\mu}\right)

計算してみれば、わかるが、こいつなら次のような交換関係を満たす。

\left[J^{\mu\nu},\ J^{\rho\sigma}\right] =-i\left(g^{\mu\rho}J^{\nu\sigma}-g^{\mu\sigma}J^{\nu\rho}-g^{\nu\rho}J^{\mu\sigma}+g^{\nu\sigma}J^{\mu\rho}\right)

これがLorentz groupのcommutation relationである。

 

一方、次のような表現も、Lorentz groupのgeneratorになりえるのがわかる。

\left(\mathcal{J}^{\mu\nu}\right)_{\alpha\beta} =i\left({\delta^{\mu}}_{\alpha}{\delta^{\nu}}_{\beta}-{\delta^{\mu}}_{\beta}{\delta^{\nu}}_{\alpha}\right)

それから、以前ポストしたようにSpinor表現もある。