Noether Currentを求めてみよう。spacetime translationに対するNoether Currentは、次のように計算する。

{T^{\mu}}_{\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}A_{\lambda}\right)}\partial_{\nu}A_{\lambda}-\mathcal{L}{\delta^{\mu}}_{\nu}=-F^{\mu\lambda}\partial_{\nu}A_{\lambda}+\frac{1}{4}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}{\delta^{\mu}}_{\nu}

T^{\mu\nu}=-F^{\mu\lambda}\partial^{\nu}A_{\lambda}+\frac{1}{4}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}g^{\mu\nu}

しかしここで問題がある。energy-momentum tensorはsymmetricであり、この第2項も一応symmetricなのだが、第1項はsymmetricではない。

ここで、場の理論においてのenergy-momentum tensorは発散が0なテンソルを足しても良いっていうambiguityを用いる。次のようなtensorを考えよう。

\partial_{\lambda}K^{\lambda\mu\nu}=\partial_{\lambda}\left(F^{\mu\lambda}A^{\nu}\right)=\left(\partial_{\lambda}F^{\mu\lambda}\right)A^{\nu}+F^{\mu\lambda}\left(\partial_{\lambda}A^{\nu}\right)=F^{\mu\lambda}\partial_{\lambda}A^{\nu}

これを足しても、energy-momentum tensorは本質的には変わらない。さてどういう形をするのかを計算していこう。

\widehat{T}^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+\partial_{\lambda}K^{\lambda\mu\nu}=-F^{\mu\lambda}\partial^{\nu}A_{\lambda}+\frac{1}{4}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}g^{\mu\nu}+F^{\mu\lambda}\partial_{\lambda}A^{\nu}

\widehat{T}^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+\partial_{\lambda}K^{\lambda\mu\nu}=F^{\mu\lambda}\left(\partial_{\lambda}A^{\nu}-\partial^{\nu}A_{\lambda}\right)+\frac{1}{4}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}g^{\mu\nu}

=F^{\mu\lambda}{F_{\lambda}}^{\nu}+\frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}

さて、これはsymmetric tensorなのか?

F^{\mu\lambda}{F_{\lambda}}^{\nu}\rightarrow F^{\nu\lambda}{F_{\lambda}}^{\mu}={F^{\nu}}_{\lambda}F^{\lambda\mu}=\left(-{F_{\lambda}}^{\nu}\right)\left(-F^{\mu\lambda}\right)=F^{\mu\lambda}{F_{\lambda}}^{\nu}

対象テンソルであってるね。これで求まった。

\widehat{T}^{\mu\nu}=F^{\mu\lambda}{F_{\lambda}}^{\nu}+\frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}=F^{\mu\lambda}{F_{\lambda}}^{\nu}-\mathcal{L}g^{\mu\nu}

さて、Noether Currentの形を、学部2年生レベルの生徒たちも一目でわかるような形に書き換えてみよう。予備作業として、ラグランジアンから。

\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} =-\frac{1}{4}\left(F_{0i}F^{0i}+F_{i0}F^{i0}+F_{ij}F^{ij}\right)
=-\frac{1}{4}\left(E^{i}\left(-E^{i}\right)+\left(-E^{i}\right)E^{i}+\left(-\varepsilon^{ijl}B^{l}\right)\left(-\varepsilon^{ijk}B^{k}\right)\right)

iは上げ下げにマイナスつくんだけど、0はつかない。ijだったら2つ上げ下げだから、マイナスが打ち消しあう。

\mathcal{L}=-\frac{1}{4}\left(-2E^{i}E^{i}+\varepsilon^{ijk}\varepsilon^{ijl}B^{k}B^{l}\right) =-\frac{1}{4}\left(-2E^{i}E^{i}+2\delta^{kl}B^{k}B^{l}\right)
=\frac{1}{2}\left(\mathbf{E}^{2}-\mathbf{B}^{2}\right)

ここからは簡単な計算ですぐ示せる。

まず場のエネルギー。

\widehat{T}^{00} = \mathcal{E} = \frac{1}{2}\left(\mathbf{E}^{2}+\mathbf{B}^{2}\right)

Poynting Vector

\widehat{T}^{0i} = \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}

次はちょっと計算が難しいが、Maxwell stress tensor。

\widehat{T}^{ij} = -E^{i}E^{j}-B^{i}B^{j}+\frac{1}{2}\left(\mathbf{E}^{2}+\mathbf{B}^{2}\right)\delta^{ij}