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09/08/2011

すでにCanonical Quantizationを済ませているとする。今考えている場はreal Klein-Gordon fieldで。

粒子が $y$ から $x$ へとpropagateする振幅は次のように与えられる。

$D\left(x-y\right) = \left\langle 0\right|\phi\left(x\right)\phi\left(y\right)\left|0\right\rangle$

これを計算していく。

$=\left\langle 0\right|\left(\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}a_{\mathbf{p}}e^{-ip\cdot x}\right)\left(\int\frac{d^{3}q}{\left(2\pi\right)^{3}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{q}}}}a_{\mathbf{q}}^{\dagger}e^{iq\cdot y}\right)\left|0\right\rangle$

$=\left\langle 0\right|\left(\int\frac{d^{3}pd^{3}q}{\left(2\pi\right)^{6}}\frac{1}{2\sqrt{E_{\mathbf{p}}E_{\mathbf{q}}}}a_{\mathbf{p}}a_{\mathbf{q}}^{\dagger}e^{-ip\cdot x}e^{iq\cdot y}\right)\left|0\right\rangle$

$=\int\frac{d^{3}pd^{3}q}{\left(2\pi\right)^{6}}\frac{1}{2\sqrt{E_{\mathbf{p}}E_{\mathbf{q}}}}\left(2\pi\right)^{3}\delta^{\left(3\right)}\left(\mathbf{p}-\mathbf{q}\right)e^{-ip\cdot x}e^{iq\cdot y}$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}e^{-ip\cdot\left(x-y\right)}$

これを分析してみよう。まずpurely timelikeな場合( $x^{0}-y^{0}=t$ , $\mathbf{x}-\mathbf{y}=0$ )から。

$D\left(x-y\right)=\frac{4\pi}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\limits _{0}^{\infty}dp\frac{p^{2}}{2\sqrt{p^{2}+m^{2}}}e^{-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t}=\frac{1}{4\pi^{2}}\int\limits _{m}^{\infty}dE\sqrt{E^{2}-m^{2}}e^{-iEt}$

図は $\sqrt{x^{2}-4}\cos10x$ を、 $2\leq x\leq50$ の区間で見つめたやつである。もし $t$ が無限にでかければ、余弦関数の上げ下げはさらにひどくなる。としたら積分の原理を考えると、いくら高く上がってから戻ってきたとしても、それからその分下に下がってから戻ってくるので、積分面積への寄与はほとんどゼロである。

としたら、この積分面積に対して一番の寄与をするのは、stationary phase法のような考え方ですぐわかるが、一番小さい区域の奴であって、それは $E=m$ のところである。ちょうど $m$ でなく、 $m$ よりちょっとずれたとこを選んだとしたら、 $\sqrt{E^{2}-m^{2}}$ もゼロでなくいられる。それから残されるのは $e^{-imt}$ である。これに比例する値が残っている。

$D\left(x-y\right) \underset{t\rightarrow\infty}{\sim}e^{-imt}$

これは予想通りの結果である。次はpurely spatialな場合を考えてみよう。

量子力学の限界、そして場の量子論の必要性に関して。

08/08/2011

The amplitude for a free particle to propagate from $\mathbf{x}_{0}$ to $\mathbf{x}$

そこで非相対論的量子力学なら、 $E=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}$ なので、

$U\left(t\right)=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

から出発する。

$=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left(\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\left|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}\right|\right)\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left\langle \mathbf{x}|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\exp\left[i\mathbf{p}\cdot\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-\frac{it}{2m}\left\{ \mathbf{p}^{2}-2\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\cdot\mathbf{p}\right\} \right]$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-\frac{it}{2m}\left\{ \left[\mathbf{p}-\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]^{2}-\frac{m^{2}}{t^{2}}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right\} \right]$

$=\exp\left[-i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[\frac{it}{2m}\left[\mathbf{p}-\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]^{2}\right]$

ここで、Fresnel積分を実行しなければいけない。これの計算に関しては別にポストしとく。

$=\exp\left[i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\left(\frac{\pi}{\frac{it}{2m}}\right)^{\frac{3}{2}}$

$=\exp\left[i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\left(\frac{1}{4\pi\frac{it}{2m}}\right)^{\frac{3}{2}}$

$=\left(\frac{m}{2\pi it}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left[i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]$

これはどのような $x$ や $t$ に対してもゼロにならない。因果律を破った場合でもそうであり、ならばcausalityの破れを意味し、相対論的とは言えない。ならば、相対論的なエネルギー関係 $E=\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}$ でやってみよう。

$U\left(t\right)=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}t\right]\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}t\right]\left(\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\left|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}\right|\right)\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-i\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}t\right]\exp\left[i\mathbf{p}\cdot\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]$

$=\frac{\text{1}}{\left(2\pi\right)^{2}}\overset{1}{\underset{-1}{\int}}d\cos\theta\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}p^{2}dp\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\exp\left[ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\cos\theta\right]$

$=\frac{\text{1}}{\left(2\pi\right)^{2}}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}p^{2}dp\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\cdot\frac{1}{ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\exp\left[ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right]-\exp\left[-ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right]\right]\right]$

$=\frac{\text{1}}{\left(2\pi\right)^{2}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\cdot2p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)\right]$

$=\frac{\text{1}}{2\pi^{2}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\cdot p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\right]$

ここで、Gradshteyn and Ryzhikの#3.914のET175(35)指揮を参照する。Third Editionではp.491である。

$\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dx\cdot x\exp\left[-\beta\sqrt{\gamma^{2}+x^{2}}\right]\sin\left(bx\right)=\frac{b\beta\gamma^{2}}{\beta^{2}+b^{2}}K_{2}\left(\gamma\sqrt{\beta^{2}+b^{2}}\right)$

この積分の結果を用いて計算すると、次のようになる。

$U\left(t\right)=\frac{\text{1}}{2\pi^{2}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\cdot p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\right]$

$U\left(t\right)=\frac{m^{2}}{2\pi^{2}}\cdot\left(\frac{it}{-t^{2}+\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}}\right)\cdot K_{2}\left(m\sqrt{-t^{2}+\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}}\right)$

ここでの $K_{2}\left(x\right)$ は第2種変形ベッセル関数。 $K_{2}\left(x\right)$ は $x\rightarrow\infty$ とともに(上式で言えば $\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2} \gg t^{2}$ ) $0$ に落とされていく関数。

Benjamin Cantabile in Europe

場の量子論でCausalityは守られているのか。-1-

量子力学の限界、そして場の量子論の必要性に関して。

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