The amplitude for a free particle to propagate from \mathbf{x}_{0} to \mathbf{x}

そこで非相対論的量子力学なら、E=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}なので、

U\left(t\right)=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle

から出発する。

=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left(\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\left|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}\right|\right)\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle

=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}|\mathbf{x}_{0}\right\rangle

=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left\langle \mathbf{x}|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}|\mathbf{x}_{0}\right\rangle

=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\exp\left[i\mathbf{p}\cdot\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]

=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-\frac{it}{2m}\left\{ \mathbf{p}^{2}-2\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\cdot\mathbf{p}\right\} \right]

=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-\frac{it}{2m}\left\{ \left[\mathbf{p}-\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]^{2}-\frac{m^{2}}{t^{2}}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right\} \right]

=\exp\left[-i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[\frac{it}{2m}\left[\mathbf{p}-\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]^{2}\right]

=\exp\left[-i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[\frac{it}{2m}\left[\mathbf{p}-\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]^{2}\right]

ここで、Fresnel積分を実行しなければいけない。これの計算に関しては別にポストしとく。

=\exp\left[i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\left(\frac{\pi}{\frac{it}{2m}}\right)^{\frac{3}{2}}

=\exp\left[i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\left(\frac{1}{4\pi\frac{it}{2m}}\right)^{\frac{3}{2}}

=\left(\frac{m}{2\pi it}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left[i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]

これはどのようなxやtに対してもゼロにならない。因果律を破った場合でもそうであり、ならばcausalityの破れを意味し、相対論的とは言えない。ならば、相対論的なエネルギー関係E=\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}でやってみよう。

U\left(t\right)=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}t\right]\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle

=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}t\right]\left(\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\left|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}\right|\right)\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle

=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-i\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}t\right]\exp\left[i\mathbf{p}\cdot\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]

=\frac{\text{1}}{\left(2\pi\right)^{2}}\overset{1}{\underset{-1}{\int}}d\cos\theta\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}p^{2}dp\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\exp\left[ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\cos\theta\right]

=\frac{\text{1}}{\left(2\pi\right)^{2}}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}p^{2}dp\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\cdot\frac{1}{ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\exp\left[ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right]-\exp\left[-ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right]\right]\right]

=\frac{\text{1}}{\left(2\pi\right)^{2}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\cdot2p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)\right]

=\frac{\text{1}}{2\pi^{2}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\cdot p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\right]

ここで、Gradshteyn and Ryzhikの#3.914のET175(35)指揮を参照する。Third Editionではp.491である。

\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dx\cdot x\exp\left[-\beta\sqrt{\gamma^{2}+x^{2}}\right]\sin\left(bx\right)=\frac{b\beta\gamma^{2}}{\beta^{2}+b^{2}}K_{2}\left(\gamma\sqrt{\beta^{2}+b^{2}}\right)

この積分の結果を用いて計算すると、次のようになる。

U\left(t\right)=\frac{\text{1}}{2\pi^{2}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\cdot p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\right]

U\left(t\right)=\frac{m^{2}}{2\pi^{2}}\cdot\left(\frac{it}{-t^{2}+\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}}\right)\cdot K_{2}\left(m\sqrt{-t^{2}+\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}}\right)

ここでのK_{2}\left(x\right)は第2種変形ベッセル関数。K_{2}\left(x\right)はx\rightarrow\inftyとともに(上式で言えば\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2} \gg t^{2})0に落とされていく関数。