次のような積分の計算に関して考える。ここでa>0とする。

\overset{\infty}{\underset{-\infty}{\int}}dxe^{\pm i a x^{2}}

複素解析を導入して考える。ただの実軸上の積分を、複素平面へと+\frac{\pi}{4}か-\frac{\pi}{4}だけ回転させる。とすると、

\overset{\infty}{\underset{-\infty}{\int}}dxe^{\pm i a x^{2}}=e^{\mp i\frac{\pi}{4}}\int dze^{+a z^{2}}

ここで、

\begin{cases} z=e^{+i\frac{\pi}{4}}x & \left(-\frac{\pi}{4}\ \mathrm{rotation}\right)\\ z=e^{-i\frac{\pi}{4}}x & \left(+\frac{\pi}{4}\ \mathrm{rotation}\right) \end{cases}

である。さて、z=Re^{i\theta}だとしよう。ふと考えるとR\rightarrow\inftyとともにe^{az^{2}}\rightarrow\inftyとなりそうである。そうするとintegrandが発散しちゃい、この積分は意味を持たなくなる。

この積分が意味を持ち得るための条件は、

\Re z^{2}\rightarrow-\infty

である。そうすればe^{az^{2}}が無限でも収束し、安全に積分ができるからである。こうなるためには、

z^{2}=R^{2}\left(\cos2\theta+i\sin2\theta\right)

で\cos2\theta\leq0となることであり、これが意味するのは、\overset{\infty}{\underset{-\infty}{\int}}dxe^{- i a x^{2}}の場合、つまりz=e^{-i\frac{\pi}{4}}xにする場合で例えると、\frac{\pi}{2}\leq2\theta\leq\piもしくは\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}である。

つまり、緑色の円弧のような回転方向を意味するのである。

the Contour of Fresnel Integral

the Contour of Fresnel Integral

原点からオレンジ色の経路(L_2)に乗って出発し、緑色の円弧経路でターンして、赤色の経路(L_3)で原点に戻ってくるようなcontourでの複素積分は、integrandがregularなので、Cauchyの積分定理よりゼロである。それに円弧積分はR \rightarrow \inftyでゼロなのを考えれば、次がわかる。

\underset{L_{2}}{\int}e^{i\frac{\pi}{4}}dze^{a z^{2}} = -\underset{L_{3}}{\int}e^{i\frac{\pi}{4}}dze^{a z^{2}} = - \overset{+i\infty}{\underset{-i\infty}{\int}}e^{i\frac{\pi}{4}}dze^{a z^{2}}

この積分経路は実軸と比べると\frac{\pi}{2}の分回っているので、z=ixである。

\overset{\infty}{\underset{-\infty}{\int}}dx e^{-a i x^{2}} = - e^{\frac{\pi}{4}i} \overset{+i\infty}{\underset{-i\infty}{\int}} dze^{a z^{2}} = - e^{\frac{\pi}{4}i}i \overset{\infty}{\underset{-\infty}{\int}}dx e^{-a x^{2}}

これよりintegrandにe^{i a^2}が含まれている積分が、e^{-a^2}が入っている積分、つまりガウス積分となった。

\overset{\infty}{\underset{-\infty}{\int}}dx e^{-a i x^{2}} = - e^{\frac{\pi}{4}i}i \overset{\infty}{\underset{-\infty}{\int}}dx e^{-a x^{2}} = -ie^{\frac{\pi}{4}i}\sqrt{\frac{\pi}{a}} = \sqrt{\frac{\pi}{i a}}

である。