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purely spacelikeという条件を課す。x^{0}-y^{0}=0、\mathbf{x}-\mathbf{y}=r

D\left(x-y\right)=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}e^{-ip\cdot\left(x-y\right)}

D\left(x-y\right)=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}

=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\overset{1}{\underset{-1}{\int}}d\cos\theta\frac{p^{2}}{2\sqrt{p^{2}+m^{2}}}e^{-ipr\cos\theta}

=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\frac{p^{2}}{2\sqrt{p^{2}+m^{2}}}\frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{ipr}

=\frac{-i}{2\left(2\pi\right)^{2}r}\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\frac{p}{\sqrt{p^{2}+m^{2}}}e^{ipr}-e^{-ipr}

=\frac{-i}{2\left(2\pi\right)^{2}r}\overset{\infty}{\underset{-\infty}{\int}}dp\frac{pe^{ipr}}{\sqrt{p^{2}+m^{2}}}

これは複素解析的に考えると、p=\pm imに極、そして分岐点を持っていて、ブランチカットがある。それを虚軸に張るとしよう。それから積分経路を、実軸を走り、それから上に包むような方向に行き、ブランチカットで下に走り、分岐点かつ極でターンして上がり、それから上に包むような方向にして実軸に戻ってくるような経路に選ぶ。としたら円弧のところはR\rightarrow\inftyとしたらゼロであり、そしてその積分経路でなら複素積分がコーシーの定理によってゼロなので、それから考えれば、教科書の言っている、実軸積分をブランチカットを包むような経路に変えることができる、ということになる。

そうすると、実軸積分は、

\rho=e^{-\frac{\pi}{2}i}p=-ip

で変数変換をしたら、ブランチカットの隣を走る積分経路の積分になり、その2倍で計算すればいいわけである。

D\left(x-y\right)=\frac{-i}{2\left(2\pi\right)^{2}r}\overset{\infty}{\underset{-\infty}{\int}}dp\frac{pe^{ipr}}{\sqrt{p^{2}+m^{2}}}=\frac{2}{2\left(2\pi\right)^{2}r}\overset{\infty}{\underset{m}{\int}}d\rho\frac{i\rho e^{-\rho r}}{\sqrt{-\rho^{2}+m^{2}}}

D\left(x-y\right)=\frac{1}{4\pi^{2}r}\overset{\infty}{\underset{m}{\int}}d\rho\frac{\rho e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^{2}-m^{2}}}

ここでr\rightarrow\inftyだったら、e^{-\rho r}がほぼゼロになるので、この積分では\rhoが一番小さい方が一番寄与できそうなイメージがある。つまり、積分する代わりに\rho\rightarrow mを代入しても良いということ。この積分の係数でr^{-1}がかかってあるが、それによる効果はintegrandの中の\sqrt{\rho^{2}-m^{2}}で相殺される。定数倍を適当に無視すれば、この積分の結果の核心はe^{-mr}である。lightconeの外側で指数関数的に減少してはいるけれどnonzeroである。

D\left(x-y\right)=\frac{1}{4\pi^{2}r}\int\limits_{m}^{\infty}d\rho\frac{\rho e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^{2}-m^{2}}} \underset{r\rightarrow\infty}{\sim}e^{-mr}

ふと考えてこれも問題がありそうに思われるが、そもそも、粒子がspacelikeなintervalをpropagateできるかどうかにこだわるより、spacelikeな関係の2つのスポットで、どれか一方でのmeasurementがほかのやつでのmeasurementに影響を与えるか否かを調べるのがどうかと。

もしcommutatorが0ならば、同時測定可能っていう意味で、つまりお互いの測定に影響を与えないということである。それを確認しよう。簡単な計算で次が言える。

\left[\phi\left(x\right),\ \phi\left(y\right)\right] = \int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}\left(e^{-ip\cdot\left(x-y\right)}-e^{ip\cdot\left(x-y\right)}\right) = D\left(x-y\right)-D\left(y-x\right)

\left(x-y\right)^{2}0では、\left(x-y\right)\rightarrow-\left(x-y\right)を行うために、x^{0}-y^{0}=0という点を必ず通らなければいけないが、この点では絶対\left(x-y\right)^{2} \leq 0なので、これが不可能である。けれどspacelikeな領域でならできるのである。これでcommutatorは自然と0になる。

No measurement in the Klein-Gordon theory can affect another measurement outside the light-cone.