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続き。Stationary phase approximationを使って考えるasymptotic behavior

08/08/2011

厳密解を求めてもわけわかんないのは相変わらず。そこでlight-coneからずいぶん離れた、つまり $\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2} \gg t^{2}$ でのasymptotic behaviorを調べよう。stationary phase approximationが一番わかりやすそう。その条件は $\nabla_{\mathbf{p}}\left\{ \mathbf{p}\cdot\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)-t\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}\right\}=0$ であるが、これを丁寧に計算すると、 $\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)-t\frac{\mathbf{p}}{\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}}=0$ を得る。こいつからの等式変形でdominant momentumを求めることができる。

$\mathbf{p}_{\mathrm{dom}}=im\frac{\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)}{\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}}$

これを代入してみる。

$\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]=\exp\left[-i\sqrt{\frac{-m^{2}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}+m^{2}}t\right]=\exp\left[m\frac{t^{2}}{\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}}\right]$

$p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)=m\frac{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}{\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}}i\sin\left(im\frac{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}}{\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}}\right)$

$=m\frac{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}{\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}}\frac{1}{2}\left(\exp\left[-m\frac{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}}{\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}}\right]-\exp\left[m\frac{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}}{\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}}\right]\right)$

これらを $U\left(t\right)$ に代入すると次を得る。

$U\left(t\right)\sim\frac{\text{1}}{4\pi^{2}}\cdot\frac{m}{\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}}\left(\exp\left[-m\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}\right]-\exp\left[m\frac{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}+t^{2}}{\sqrt{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}-t^{2}}}\right]\right)$

これらはspacelikeなところで小さくなるけれど、まだ0にはならない。このままだと因果率が成り立たない。

量子力学の限界、そして場の量子論の必要性に関して。

08/08/2011

The amplitude for a free particle to propagate from $\mathbf{x}_{0}$ to $\mathbf{x}$

そこで非相対論的量子力学なら、 $E=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}$ なので、

$U\left(t\right)=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

から出発する。

$=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left(\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\left|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}\right|\right)\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\left\langle \mathbf{x}|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-i\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}t\right]\exp\left[i\mathbf{p}\cdot\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-\frac{it}{2m}\left\{ \mathbf{p}^{2}-2\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\cdot\mathbf{p}\right\} \right]$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-\frac{it}{2m}\left\{ \left[\mathbf{p}-\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]^{2}-\frac{m^{2}}{t^{2}}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right\} \right]$

$=\exp\left[-i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[\frac{it}{2m}\left[\mathbf{p}-\frac{m}{t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]^{2}\right]$

ここで、Fresnel積分を実行しなければいけない。これの計算に関しては別にポストしとく。

$=\exp\left[i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\left(\frac{\pi}{\frac{it}{2m}}\right)^{\frac{3}{2}}$

$=\exp\left[i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]\left(\frac{1}{4\pi\frac{it}{2m}}\right)^{\frac{3}{2}}$

$=\left(\frac{m}{2\pi it}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left[i\frac{m}{2t}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)^{2}\right]$

これはどのような $x$ や $t$ に対してもゼロにならない。因果律を破った場合でもそうであり、ならばcausalityの破れを意味し、相対論的とは言えない。ならば、相対論的なエネルギー関係 $E=\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}$ でやってみよう。

$U\left(t\right)=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}t\right]\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\left\langle \mathbf{x}\right|\exp\left[-i\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}t\right]\left(\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\left|\mathbf{p}\right\rangle \left\langle \mathbf{p}\right|\right)\left|\mathbf{x}_{0}\right\rangle$

$=\int\frac{d^{3}p}{\left(2\pi\right)^{3}}\exp\left[-i\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}t\right]\exp\left[i\mathbf{p}\cdot\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)\right]$

$=\frac{\text{1}}{\left(2\pi\right)^{2}}\overset{1}{\underset{-1}{\int}}d\cos\theta\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}p^{2}dp\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\exp\left[ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\cos\theta\right]$

$=\frac{\text{1}}{\left(2\pi\right)^{2}}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}p^{2}dp\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\cdot\frac{1}{ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\exp\left[ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right]-\exp\left[-ip\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right]\right]\right]$

$=\frac{\text{1}}{\left(2\pi\right)^{2}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\cdot2p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)\right]$

$=\frac{\text{1}}{2\pi^{2}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\cdot p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\right]$

ここで、Gradshteyn and Ryzhikの#3.914のET175(35)指揮を参照する。Third Editionではp.491である。

$\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dx\cdot x\exp\left[-\beta\sqrt{\gamma^{2}+x^{2}}\right]\sin\left(bx\right)=\frac{b\beta\gamma^{2}}{\beta^{2}+b^{2}}K_{2}\left(\gamma\sqrt{\beta^{2}+b^{2}}\right)$

この積分の結果を用いて計算すると、次のようになる。

$U\left(t\right)=\frac{\text{1}}{2\pi^{2}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|}\left[\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}dp\cdot p\sin\left(p\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|\right)\exp\left[-i\sqrt{p^{2}+m^{2}}t\right]\right]$

$U\left(t\right)=\frac{m^{2}}{2\pi^{2}}\cdot\left(\frac{it}{-t^{2}+\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}}\right)\cdot K_{2}\left(m\sqrt{-t^{2}+\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2}}\right)$

ここでの $K_{2}\left(x\right)$ は第2種変形ベッセル関数。 $K_{2}\left(x\right)$ は $x\rightarrow\infty$ とともに(上式で言えば $\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|^{2} \gg t^{2}$ ) $0$ に落とされていく関数。

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